Question

    已知函數f(x)滿足對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1,且f（－2）=－2.

    （1）求f（1）的值;

    （2）證明:對一切大于1的正整數t，恒有f（t）>t;

    （3）試求滿足f（t）=t的整數的個數，并說明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：（1）解：令x=y=0，得f（0）=－1.     令x=y=－1，因f（－2）=－2，所以f（－1）=－2.     令x=1，y=－1，得f（0）=f（1）+f（－1），     所以f（1）=1.     （2）證明：令x=1，得f（y+1）－f（y）=y+2，     故當y∈N時，有f（y+1）－f（y）>0.     由f（y+1）>f（y），f（1）=1可知，     對一切正整數y都有f（y）>0.     當y∈N時，f（y+1）=f（y）+y+2=f（y）+1+y+1>y+1.     故對一切大于1的正整數，恒有f（t）>t.     （3）解：由f（y+1）－f（y）=y+2及（1）可知f（－3）=－1，f（－4）=1.     下面證明t≤－4時，f（t）＞t.     ∵t≤－4，∴－（t+2）≥2＞0.     ∵f（t）－f（t+1）=－（t+2）＞0，     ∴f（－5）－f（－4）＞0，     同理可得f（－6）－f（－5）＞0，f（t+1）－f（t+2）＞0，f（t）－f（t+1）＞0.     將各不等式相加得f（t）＞f（－4）=1＞－4.     ∵t≤－4，∴f（t）＞t.     綜上所述，滿足條件的整數只有兩個：1和－2.