Question

已知點P是圓C:x²+y²=1外一點.設k₁、k₂分別是過點P的圓C兩條切線的斜率.

(1)若點P坐標為(2,2),求k₁·k₂的值;

(2)若k₁·k₂=-λ(其中λ＞1),求點P的軌跡M的方程,并指出M所在圓錐曲線的類型.

Answer 1

解:(1)設過點P的圓C切線為y=k(x-2)+2,∴d==1.∴3k²-8k+3=0.

∴k₁k₂=1.

(2)設過點P的圓C切線為y=k(x-x_P)+y_P,∴d==1.

∴(x_P²-1)k²-2x_Py_Pk+y_P²-1=0.

其中x_P²-1≠0,Δ=(2x_Py_P)²-4(x_P²-1)(y_P²-1)=4(x_P²+y_P²-1)＞0(點P是圓C外一點).

∴k₁k₂==-λ(其中x_P²-1≠0).∴λx_P²+y_P²=λ+1(其中x_P≠±1).

∴=1(其中x_P≠±1).∴+=1(其中x_P≠±1).

∵λ＞1,∴M所在圓錐曲線是橢圓.