Question

(本小題滿分12分)

如圖（1）是一正方體的表面展開圖， 和 是兩條面對角線，請在圖（2）的正方體中將 和畫出來，并就這個正方體解決下面問題.

   （Ⅰ）求證：平面；

   （Ⅱ）求證：⊥平面；

   （Ⅲ）求二面角 的大小．

Answer 1

(本小題滿分12分)

解：MN、PB的位置如右圖示. ……………………………………………………（2分）

（Ⅰ）∵ND//MB且ND=MB，∴四邊形NDBM為平行四邊形.

∴MN//DB.

∵BD平面PBD，MN，∴MN//平面PBD.（5分）

（Ⅱ）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥QC.

又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC.

∵AQ面AQC，∴AQ⊥BD.

同理可得AQ⊥PB.

∵BDPD=B，∴AQ⊥面PDB. …………………………（8分）

（Ⅲ）解法1：分別取DB、MN中點E、F，連結PE、EF、PF.

∵在正方體中，PB=PD，∴PE⊥DB.

∵四邊形NDBM為矩形，∴EF⊥DB.

∴∠PEF為二面角P—DB—M為平面角.

∵EF⊥平面PMN，∴EF⊥PF.

設正方體的棱長為a，則在直角三角形EFP中，

∵，∴.

.…………………………（12分）

解法2：設正方體的棱長為a，以D為坐標原點建立空間直

角坐標系如圖.

則點A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）.

∴.

∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB.

∴分別為平面PDB、平面DBM的法向量.

∴.

∴.…………………………（12分）