Question

下列命題中正確的是

②③④

①如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β
②如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β
③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β
④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ

Answer 1

分析：命題①②可以通過作圖說明；命題③可以運用反證法的思維方式說明是正確的；命題④可以直接進行證明．

解答：解：①如圖，平面α⊥平面β，α∩β=l，l?α，l不垂直于平面β，所以①不正確；

②如①中的圖，平面α⊥平面β，α∩β=l，a?α，若a∥l，則a∥β，所以②正確；
③若平面α內存在直線垂直于平面β，根據面面垂直的判定，則有平面α垂直于平面β，與平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β正確；
④如圖，

設α∩γ=a，β∩γ=b，在γ內直線a、b外任取一點O，作OA⊥a，交點為A，因為平面α⊥平面γ，
所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交點為B，因為平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，
所以l⊥γ．所以④正確．
故答案為②③④．

點評：本題考查了命題的真假的判斷與應用，著重考查了空間中的直線與直線、直線與平面的位置關系，考查了學生的空間想象和思維能力，解答此題時，除了具備一定的空間想象能力外，還應熟記線面平行、線面垂直的判定，此題是中檔題．