Question

已知f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數，當x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷f（x）在何區間上單調遞減，并給予證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），利用已知函數解析式及函數是奇函數，可得函數解析式，再求出x=0時的解析式，即可得到結論；
（2）利用單調性的證題步驟，結合指數函數的單調性，即可得到結論．

解答： 解：（1）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1）．
∵f（x）為奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

1+4x

．
又f（0）=-f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0，
∴f（x）=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) 0，x=1 - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0)

；
（2）f（x）在區間（-1，0）和（0，1）上都是減函數．
證明如下：設0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1•2x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0．
又當0＜x₁，x₂＜1時，2^x₁×2^x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上單調遞減．
又由奇函數在對稱區間上單調性相同，
故f（x）在區間（-1，0）上單調遞減．
即f（x）在區間（-1，0）和（0，1）上都是減函數．

點評：本題考查函數解析式的求解，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．