Question

【題目】如圖，已知為拋物線上在軸下方的一點，直線，，與拋物線在第一象限的交點從左到右依次為，，，與軸的正半軸分別相交于點，，，且，直線的方程為.

（1）當時，設直線，的斜率分別為，，證明：；

（2）求關于的表達式，并求出的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析.(2) .

【解析】

(1)由題意首先確定點P的坐標，然后設出點M,N的坐標，利用斜率公式求得斜率即可證得題中的等式；

(2)由題意首先確定點A和點C的坐標，然后求解點到直線的距離和點到直線的距離，最后結合幾何圖形的性質得到面積比值的函數(shù)，由函數(shù)的定義域和函數(shù)的值域可確定的取值范圍.

（1）由解得或，則.

易知，由題意可得，（，且），

所以，，

所以，.

所以.

（2）由（1）得，當時，直線的方程為，

當時，直線的方程為，適合上式，

所以直線的方程為.

由消去得，

所以，解得，所以點的坐標為.

由（1）得，直線的方程為，

由消去得，

所以，解得，所以點的坐標為.

則點到直線的距離為 ，

點到直線的距離為 ，

所以 .

因為，所以，所以，

所以的取值范圍是.