Question

已知n∈N*，數列{dn}滿足dn＝，數列{an}滿足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n.又知數列{bn}中，b1＝2，且對任意正整數m，n，.

(1)求數列{an}和數列{bn}的通項公式；

(2)將數列{bn}中的第a1項，第a2項，第a3項，…，第an項刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數列{cn}，求數列{cn}的前2013項和T2013.

 

Answer 1

（1）an＝3n，bn＝2n.（2）

【解析】(1)∵dn＝，∴an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝＝3n.

又由題知，令m＝1時，則b2＝＝22，b3＝＝23，…，bn＝＝2n，

若bn＝2n，則＝2nm，＝2mn，所以＝恒成立；

若bn≠2n，當m＝1時，＝不成立，所以bn＝2n.

(2)由題知將數列{bn}中的第3項、第6項、第9項…刪去后構成的新數列{cn}中的奇數項與偶數項仍成等比數列，首項分別是b1＝2，b2＝4，公比均是8，

T2013＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2013)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2012)

＝