Question

（2012•淮南二模）已知C為線段AB上一點，P為直線AB外一點，I為PC上一點，滿足|

PA

|-|

PB

|=4，|

PA

-

PB

|=10，

PA • PC

| PA |

=

PB • PC

| PB |

，且 

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），

BI • BA

BA

的值為（　　）

A．2

B．4

C．3

D．5

Answer 1

分析：根據題中向量的等式結合平面幾何知識，可得I為△PAB內心．過I作IH⊥AB于H，以I為圓心，IH為半徑作出△PAB內切圓如圖，可得|

BH

|=

1

2

（|

PB

|+|

AB

|-|

PA

|）=3，結合向量數量積的運算公式和直角三角形中三角函數的定義，可得

BI • BA

BA

=

|BI|

cos∠IBH=

|BH|

=3．

解答：解：∵

PA • PC

| PA |

=

|PC|

cos∠APC，

PB • PC

| PB |

=

|PC|

cos∠BPC
∴由

PA • PC

| PA |

=

PB • PC

| PB |

，得cos∠APC=cos∠BPC，
∴∠APC=∠BPC，PC是∠APB的平分線
∵

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），
∴

AI

=λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），得I在∠CAP的平分線上
因此，I為△APB的角平分線的交點，即△PAB內切圓圓心
過I作IH⊥AB于H，以I為圓心，IH為半徑，作出△PAB內切圓如圖，分別切PA、PB于E、F，
∵|

PA

|-|

PB

|=4，|

PA

-

PB

|=|

AB

|=10，
∴|

BH

|=|

BF

|=

1

2

（|

PB

|+|

AB

|-|

PA

|）=

1

2

[|

AB

|-（|

PA

|-|

PB

|）]=3
Rt△BIH中，cos∠IBH=

|BH|

|BI|

，
∴

BI • BA

BA

=

|BI|

cos∠IBH=

|BH|

=3
故選C

點評：本題給出三角形的內心，求向量的投影大小，著重考查了三角形角平分線的性質、平面向量的線性運算和向量數量積公式等知識，屬于中檔題．