Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；
（3）若點M在線段EF上運動，設平MAB與平FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在梯形ABCD中，由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，推導出AB²=AC²+BC²，BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，能證明BC⊥平面ACFE．
（2）取FB中點G，連接AG，CG，由AF==2，知AB=AF，AG⊥FB，由CF=CB=1，CG⊥FB，∠AGC=θ，由此能求出二面角A-BF-C的平面角的余弦值．
（3）由點M在線段EF上運動，分當M與F重合，M與E重合時，當M與E，F都不重合三種情況進行分類討論，能求出cosθ的取值范圍．
解答：（1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，∴BC⊥AC，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，
平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE．
（2）解：取FB中點G，連接AG，CG，
∵AF==2，∴AB=AF，∴AG⊥FB，
∵CF=CB=1，∴CG⊥FB，∴∠AGC=θ，
∵BC=CF，∴FB=，∴CG=，AG=，
∴cosθ==．
（3）解：由（2）知：
①當M與F重合時，cosθ=．
②當M與E重合時，過B作BN∥CF，且使BN=CF，
連接EN，FN，則平面MAB∩平面FCB，
∵BC⊥CF，AC⊥CF，∴CF⊥平面ABC，∴BN⊥平面ABC，
∴∠ABC=θ，∴θ=60°，∴cosθ=．
③當M與E，F都不重合時，令FM=λ，0＜λ＜，
延長AM交CF的延長線于N，連接BN，
∴N在平面MAB與平面FCB的交線上，
∵B在平面MAB與平面FCB的交線上，
∴平面MAB∩平面FCB=BN，
過C作CH⊥NB交NB于H，連接AH，
由（1）知，AC⊥BC，
又∵AC⊥CN，∴AC⊥平面NCB，∴AC⊥NB，
又∵CH⊥NB，AC∩CH=C，∴NB⊥平面ACH，
∴AH⊥NB，∴∠AHC=θ，
在△NAC中，NC=，
從而在△NCB中，CH=，
∵∠ACH=90°，∴AH==，
∴cosθ==，
∵0，
∴，
綜上所述，cosθ∈[，]．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．