Question

如下圖，設P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲線y=上的點列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n,…是x軸正半軸上的點列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n,…都是正三角形，設它們的邊長為a₁,a₂,…,a_n,…,求證：a₁+a₂+…+a_n=n(n+1).

Answer 1

證明：（1）當n=1時，點P₁是直線y=x與曲線y=的交點，

∴可求出P₁（）.

∴a₁=|OP₁|=.而×1×2=,命題成立.

（2）假設n=k(k∈N^*)時命題成立，即a₁+a₂+…+a_k=k(k+1),則點Q_k的坐標為（k(k+1),0）,

∴直線Q_kP_k+1的方程為y=［x-k(k+1)］.代入y=,解得P_k+1點的坐標為(,(k+1)).

∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=(k+1)·=(k+1).

∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2).

∴當n=k+1時，命題成立.

由（1）、（2）,可知命題對所有正整數都成立.