Question

（2013•徐匯區一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），點（-1，

2

2

）在橢圓C上，點T滿足

OT

=

a2

a2-b2

•

OF

（其中O為坐標原點），過點F作一直線交橢圓于P、Q兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△PQT面積的最大值；
（3）設點P′為點P關于x軸的對稱點，判斷

PQ

與

QT

的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），點（-1，

2

2

）在橢圓C上，知

a2-b2=1 1 a2 + 1 2b2 =1

，由此能求出橢圓方程．
（2）由

x=my+1 x2 2 +y2=1

，得（m²+2）y²+2my-1=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由條件可知，點T（2，0）．S_△PQT=

1

2

|FT||y₁-y₂|，由此能推導出S_△PQT的最大值．
（3）

PQ

與

QT

共線，P′（x₁，-y₁），

p′Q

=（x₂-x₁，y₂+y₁），

TQ

=（x₂-2，y₂），由（x₂-x₁）y₂-（x₂-2）（y₁+y₂）=0，得到

P′Q

與

QT

共線．

解答：（理）解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），點（-1，

2

2

）在橢圓C上，
∴

a2-b2=1 1 a2 + 1 2b2 =1

，
解得a²=2，b²=1，…..（2分）
所以，橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…..（4分）
（2）由

x=my+1 x2 2 +y2=1

，得（m²+2）y²+2my-1=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由條件可知，點T（2，0）．
S_△PQT=

1

2

|FT||y₁-y₂|=

1

2

•

4m2+4(m2+2)

m2+2

=

-2( 1 m2+2 )2+2• 1 m2+2

，…..（6分）
令t=

1

m2+2

，則t∈（0，

1

2

]，
則S_△PQT=

-2t2+2t

=

-2(t- 1 2 )2+ 1 2

≤

2

2

，
當且僅當t=

1

2

，即m=0（此時PQ垂直于x軸）時等號成立，
所以S_△PQT的最大值是

2

2

．…..（10分）
（3）

PQ

與

QT

共線 …..（11分）
P′（x₁，-y₁），

p′Q

=（x₂-x₁，y₂+y₁），

TQ

=（x₂-2，y₂），…..（12分）
由（x₂-x₁）y₂-（x₂-2）（y₁+y₂）
=-x₁y₂-x₂y₁+2（y₁+y₂）
=-（my₁+1）y₂-（my₂+1）y₁+2（y₁+y₂）
=-2my₁y₂+（y₁+y₂）
=-2m•

-1

m2+2

+

-2m

m2+2

=0，
所以，

P′Q

與

QT

共線…..（16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積最大值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．