Question

（2013•徐匯區一模）函數f(x)=

ax2-1

x

在區間（0，+∞）上單調遞增，那么實數a的取值范圍是（　　）

A．a≥0

B．a＞0

C．a≤0

D．a＜0

Answer 1

分析：先求函數f(x)=

ax2-1

x

的導數，根據函數的增區間上導數大于0，可知，若函數f(x)=

ax2-1

x

在區間（0，+∞）上單調遞增，則x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，再通過分類討論a為何值時f′（x）＞0恒成立即可求出a的范圍．

解答：解：f′（x）=

2ax2-ax2+1

x2

=

ax2+1

x2

，
∵函數f(x)=

ax2-1

x

在區間（0，+∞）上單調遞增，∴當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立．
即當x∈（0，+∞）時，ax²+1＞0恒成立，
當a＞0時，y=ax²+1的圖象為開口向上，最低點為（0，1）的拋物線，∴當x∈（0，+∞）時，ax²+1＞0恒成立．
當a=0時，1＞0恒成立．
當a＜0時，y=ax²+1的圖象為開口向下，最高點為（0，1）的拋物線，∴當x∈（0，+∞）時，ax²+1＞0不恒成立．
∴實數a的取值范圍是a≥0，
故選A

點評：本題主要考查函數的單調性與導數之間的關系，在函數的單調增區間上導數大于0恒成立．