Question

已知函數f（x）=3x+2-

a

x

-（3a+1）lnx （x＞0，實數a為常數）．
（Ⅰ）a=4時 求函數f（x）在（

1

3

，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）設

1

3

＜a＜

1

2

，求證：不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|對于任意不相等的x₁，x₂∈（

1

3

，a）都成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定函數的單調性，即可求得函數的最值；
（Ⅱ）先確定f（x）在（

1

3

，a）上單調遞減，不妨設x₁＜x₂，則當x₁，x₂∈（

1

3

，a）時，f（x₁）＞f（x₂），證明不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，即證f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．

解答：（Ⅰ）解：a=4時，f′(x)=

(3x-1)(x-4)

x2

，…（2分）
令f′（x）＜0，可得x∈（

1

3

，4），令f′（x）＞0，由于x＞

1

3

，可得x∈（4，+∞），
∴f（x）在（

1

3

，4）上單調遞減，在（4，+∞）上單調遞增                         …（4分）
∴在區(qū)間（

1

3

，+∞）上，當x=4時，f（x）有最小值f（4）=13-26ln2         …（6分）
（Ⅱ）證明：當

1

3

＜a＜

1

2

，f′(x)=

(3x-1)(x-a)

x2

，∴f（x）在（

1

3

，a）上單調遞減，
不妨設x₁＜x₂，則當x₁，x₂∈（

1

3

，a）時，f（x₁）＞f（x₂），
故不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|等價于f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，…（10分）
令函數g（x）=f（x）+x，則g′（x）=f′（x）+1=

4x2-(3a+1)x+a

x2

再令h（x）=4x²-（3a+1）x+a，對稱軸x=

3a+1

8

＜

1

3

（由于a＜

1

2

），
∵h（

1

3

）=

1

9

＞0，h（a）=a²＞0，∴h（x）＞0當x∈（

1

3

，a）時恒成立，
即g′（x）＞0當x∈（

1

3

，a）時恒成立，所以g（x）在（

1

3

，a）上為增函數，
所以f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
從而不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|對于任意不相等的x₁，x₂∈（

1

3

，a）都成立．  …（15分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．