Question

已知F₁、F₂是雙曲線(xiàn)C：x2-

y2

15

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，若離心率等于

4

5

的橢圓E與雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)相同．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如果動(dòng)點(diǎn)P（m，n）滿(mǎn)足|PF₁|+|PF₂|=10，曲線(xiàn)M的方程為：

x2

2

+

y2

2

=1．判斷直線(xiàn)l：mx+ny=1與曲線(xiàn)M的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；當(dāng)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)M相交時(shí)，求直線(xiàn)l：mx+ny=1截曲線(xiàn)M所得弦長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線(xiàn)的方程即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出方程；
（2）由動(dòng)點(diǎn)P（m，n）滿(mǎn)足|PF₁|+|PF₂|=10，可知點(diǎn)P在橢圓E上，即可得出m與n的關(guān)系及其取值范圍．因?yàn)榍�線(xiàn)M是圓心為（0，0），半徑為r=

2

的圓，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：圓心（0，0）到直線(xiàn)l：mx+ny-1=0的距離，即可得出直線(xiàn)l：mx+ny=1與曲線(xiàn)M公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．設(shè)直線(xiàn)l：mx+ny=1截曲線(xiàn)M所得弦長(zhǎng)t，t=2

r2-d2

=2

2- 1 9+ 16 25 m2

利用在0≤m²≤25上單調(diào)性，即可得出t的最大值．

解答：解：（1）∵F₁、F₂是雙曲線(xiàn)C：x2-

y2

15

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，∴c=

1+15

=4
不妨設(shè)F₁（-4，0）、F₂（4，0）．
∵橢圓E與雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)相同．
∴設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵根據(jù)已知得

c=4 c a = 4 5 b2=a2-c2

，解得

c=4 a=5 b2=9

∴橢圓E的方程為

x2

25

+

y2

9

=1
（2）直線(xiàn)l：mx+ny=1與曲線(xiàn)M有兩個(gè)公共點(diǎn)．
理由是：
∵動(dòng)點(diǎn)P（m，n）滿(mǎn)足|PF₁|+|PF₂|=10，∴P（m，n）是橢圓E上的點(diǎn)，
∴

m2

25

+

n2

9

=1，∴n2=9-

9

25

m2，0≤m²≤25
∵曲線(xiàn)M是圓心為（0，0），半徑為r=

2

的圓
圓心（0，0）到直線(xiàn)l：mx+ny-1=0的距離d=

1

m2+n2

=

1

9+ 16 25 m2

≤

1

9+0

=

1

3

＜

2

∴直線(xiàn)l：mx+ny=1與曲線(xiàn)M有兩個(gè)公共點(diǎn)．
設(shè)直線(xiàn)l：mx+ny=1截曲線(xiàn)M所得弦長(zhǎng)t，t=2

r2-d2

=2

2- 1 9+ 16 25 m2

在0≤m²≤25上遞增
∴當(dāng)m²=25，m=±5，n=0，即l：x=±

1

5

時(shí)，t最大為

14

5

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的定義及其性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、弦長(zhǎng)公式、函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．