Question

【題目】已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為正三角形，分別是的中點(diǎn)，，則球的體積為_________________。

Answer 1

【答案】

【解析】

由已知設(shè)出，，，分別在中和在中運(yùn)用余弦定理表示，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，再在中運(yùn)用勾股定理得到關(guān)于x與y的又一關(guān)系式，聯(lián)立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是，，兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線的長求出球的半徑，再求出球的體積.

在中，設(shè)，，，,，

因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，所以，，

在中，，在中，，

整理得，

因?yàn)?/span>是邊長為的正三角形，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，由，解得，

所以。

又因?yàn)?/span>是邊長為的正三角形，所以，所以，

所以，，兩兩垂直，

則球為以為棱的正方體的外接球，

則外接球直徑為，

所以球的體積為,

故答案為：.