Question

（2013•東城區二模）已知函數f(x)=lnx+

a

x

（a＞0）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）如果P（x₀，y₀）是曲線y=f（x）上的點，且x₀∈（0，3），若以P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求導數，然后解導數不等式，可求函數的單調區間．
（2）求出導數得到切線的斜率，利用斜率關系求實數a的最小值．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=lnx+

a

x

，定義域為（0，+∞），
則f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
因為a＞0，由f'（x）＞0，得x∈（a，+∞），由f'（x）＜0，得x∈（0，a），
所以f（x）的單調遞增區間為（a，+∞），單調遞減區間為（0，a）．
（Ⅱ）由題意，以P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k滿足k=f′(x0)=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

（0＜x₀＜3），
所以a≥-

1

2

x02+x0對0＜x₀＜3恒成立．
又當x₀＞0時，-

3

2

＜-

1

2

x02+x0≤

1

2

，
所以a的最小值為

1

2

．

點評：本題考查導數與單調性的關系，以及利用導數求切線斜率．熟練掌握各種導數的運算是解決導數問題的關鍵．