Question

（2012•廣東模擬）已知函數f（x）=ax•lnx+b（a，b∈R），在點（e，f（e））處的切線方程是2x-y-e=0（e為自然對數的底）．
（1）求實數a，b的值及f（x）的解析式；
（2）若t是正數，設h（x）=f（x）+f（t-x），求h（x）的最小值；
（3）若關于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k²-72k）對一切x∈（0，6）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數在點（e，f（e））處的切線方程是2x-y-e=0，可得f（e）=e，f′（e）=2，利用點（e，f（e））在函數f（x）=ax•lnx+b上，即可求實數a，b的值及f（x）的解析式；
（2）h（x）=f（x）+f（t-x）=xlnx+（t-x）ln（t-x），h（x）的定義域為（0，t），確定函數的單調性，從而可求h（x）的最小值；
（3）xlnx+（6-x）ln（6-x）=f（x）+f（6-x）=h（x），t=6時h（x）_min=h（3）=6ln3=ln729，從而關于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k²-72k）對一切x∈（0，6）恒成立，轉化為ln（k²-72k）≤ln729，解不等式，即可求得實數k的取值范圍．

解答：解：（1）依題意有2e-f（e）-e=0，∴f（e）=e
∵f（x）=ax•lnx+b，∴f′（x）=alnx+a+b
∴f′（e）=alne+a+b=2，∴2a+b=2，∴b=2-2a
∵點（e，f（e））在函數f（x）=ax•lnx+b上
∴f（e）=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e，∴a=1
∴b=0，∴f（x）=xlnx；
故實數a=1，b=0，f（x）=xlnx                          …（4分）
（2）h（x）=f（x）+f（t-x）=xlnx+（t-x）ln（t-x），h（x）的定義域為（0，t）；…（5分）
h′（x）=lnx+1-[ln（t-x）+1]=ln

x

t-x

            …（6分）
由h′（x）＞0得

t

2

＜x＜t；h′（x）＜0得0＜x＜

t

2

…（8分）
∴h（x）在(

t

2

，t)上是增函數，在（0，

t

2

）上是減函數
∴h（x）_min=h（

t

2

）=tln

t

2

…（10分）
（3）∵xlnx+（6-x）ln（6-x）=f（x）+f（6-x）=h（x）
由（2）知，h（x）_min=h（

t

2

）=tln

t

2

，∴t=6，h（x）_min=h（3）=6ln3=ln729
∵關于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k²-72k）對一切x∈（0，6）恒成立，
∴ln（k²-72k）≤ln729
∴

k2-72k＞0 k2-72k≤729

∴-9≤k＜0或72＜k≤81…（13分）
故實數k的取值范圍為[-9，0）∪（72，81]．…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確求導，確定函數的單調性，屬于中檔題．