Question

已知橢圓的左、右焦點分別為、，P為橢圓 上任意一點，且的最小值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）動圓與橢圓相交于A、B、C、D四點，當為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

【解析】

試題分析：（1）由于（定值）這個條件并結合余弦定理以及的最小值為這個條件可以求出的值，并由已知條件中的值可以求出，并最終求出橢圓的方程；（2）先設出、、、中其中一個點的坐標，然后根據這四點之間的相互對稱性將四邊形的面積用該點的坐標進行表示，結合這一條件將面積轉化為其中一個變量的二次函數，利用二次函數的求最值的思想求出四邊形面積的最大值，并可以求出對應的值.

試題解析：（1）因為P是橢圓上一點，所以.

在△中，，由余弦定理得

.

因為，當且僅當時等號成立.

因為，所以.

因為的最小值為，所以，解得.

又，所以.所以橢圓C的方程為.

（2）設，則矩形ABCD的面積.

因為，所以.

所以.

因為且，所以當時，取得最大值24.

此時，.

所以當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

考點：橢圓的定義、余弦定理、二次函數