Question

某飲料生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2013年度進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，飲料的年銷售量x萬件與年促銷費t萬元間滿足x=

3t+1

t+1

，已知2013年生產飲料的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件飲料需再投入32萬元的生產費用，若將每件飲料的售價定為其生產成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則該年生產的飲料正好能銷售完．
（1）將2013年的利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數；
（2）該企業2013年的年促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？
（注：利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）

Answer 1

分析：（1）確定飲料的售價，即可通過x表示出年利潤y，化簡代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數；
（2）根據已知代入（1）的函數，分別進行化簡，利用關于t的方程必須有兩正根建立關系式，可求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大．

解答：解：（1）當年銷量為x萬件時，成本為3+32x（萬元）．
飲料的售價為

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

（萬元/萬件）
所以年利潤y=（

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

）x-（3+32x+t）（萬元）
把x=

3t+1

t+1

代入整理得到y=

-t2+98t+35

2t+2

，其中t≥0．
（2）y=

-t2+98t+35

2t+2

，去分母整理得到：t²+2（y-49）t+2y-35=0．
該關于t的方程在[0，+∞）上有解．
當2y-35≤0，即y≤17.5時，必有一解．
當2y-35＞0時，該關于t的方程必須有兩正根
所以

4(y-49)2-4(2y-35)≥0 -2(y-49)＞0 2y-35＞0

解得：17.5＜y≤42．
綜上，年利潤最大為42萬元，此時促銷費t=7（萬元）．
所以當促銷費定在7萬元時，企業的年利潤最大．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、方程根的分布等基礎知識，考查學生分析問題和解決問題的能力，強調對知識的理解和熟練運用，屬于中檔題．