Question

是否存在兩個銳角α，β滿足．
（1）α+2β=

2π

3

；
（2）tan

α

2

•tanβ=2-

3

同時成立，若存在，求出α，β的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由（1）得

α

2

+β=

π

3

，∴

3

=tan(

α

2

+β)=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

，tan

α

2

+tanβ=3-

3

，tan

α

2

•tanβ=2-

3

聯立解得tan

α

2

=1或tanβ=1（∵0＜

α

2

＜

π

4

，∴tan

α

2

≠1，舍去），所以tanβ=1，解出α和β即可．

解答：解：由（1）得

α

2

+β=

π

3

，∴

3

=tan(

α

2

+β)=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

，得tan

α

2

+tanβ=3-

3

，又因為tan

α

2

•tanβ=2-

3

∴將tan

α

2

=

2- 3

tanβ

代入得tanβ=1；將tanβ=

2- 3

tan α 2

得tan

α

2

=1（∵0＜

α

2

＜

π

4

，∴tan

α

2

≠1，舍去），
∴tanβ=1
∴

α= π 6 β= π 4

為所求滿足條件的兩個銳角．

點評：考查學生運用兩角和與差的正切函數公式的能力，應用任意角三角函數定義解決數學問題的能力．