Question

P是曲線

x=sinθ+cosθ y=1-sin2θ

（θ∈[0，2π]是參數）上一點，P到點Q（0，2）距離的最小值是

 

．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：直線與圓,坐標系和參數方程

分析：根據平方關系，二倍角的正弦公式將參數方程化為普通方程，并求出x的范圍，再設出點P的坐標，利用兩點間的距離公式表示出：P到點Q（0，2）距離，配方后由二次函數的性質求出d的最小值．

解答：解：由題意得，

x=sinθ+cosθ，① y=1-sin2θ，②

，
①²得，x²=1+sin2θ，把②代入可得，x²=2-y，
由①得，x=

2

sin(θ+

π

4

)，又θ∈[0，2π]，則-

2

≤x≤

2

，③
所以曲線的普通方程是y=2-x²，設p（x，2-x²），
則P到點Q（0，2）距離d=

x2+x4

=

(x2+ 1 2 )2- 1 4

，
由③得，0≤x²≤2，所以當x²=0時，d取最小值為0，
故答案為：0．

點評：本題考查了參數方程化為普通方程，平方關系、二倍角的正弦公式，兩點間的距離公式，以及二次函數的性質求最值問題，屬于中檔題．