Question

如圖，在等邊△ABC中，O為邊AB的中點，AB=4，D、E為△ABC的高線上的點，且，．若以A，B為焦點，O為中心的橢圓過點D，建立適當的直角坐標系，記橢圓為M．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點E的直線l與橢圓M交于不同的兩點P，Q，點P在點E，Q之間，且=λ，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立如圖所示的直角坐標系，由已知可得D（0，1），E（0，2），則有2c=4，b=1，根據a²=b²+c²可求a，進而可求橢圓的方程
（2）設P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），E（0，2），則由．=λ可得x₁=λx₂，y₁=λy₂-2λ+2，由P，Q都在橢圓上，代入橢圓方程，
可得y₂與λ之間的關系，結合-1≤y₂≤1，及P在E，Q之間，又，可求λ的范圍
解答：
解：（1）建立如圖所示的直角坐標系，
由于，，，
∴D（0，1），E（0，2）
設橢圓方程為
∴2c=4⇒c=2，b=1
即橢圓方程為；…（6分）
（2）設p（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
∵E（0，2），即．λ=
∴①…（7分）
又∵P，Q都在橢圓上
∴②…（8分）
由①②得∴
消去x₂得…（10分）
∵-1≤y₂≤1，
∴
又∵P在E，Q之間，又，
∴0＜λ＜1，
∴λ范圍為．…（12分）
點評：本題考查了由橢圓的性質求解橢圓的標準方程的求法，求λ的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，注意合理地進行等價轉化．