Question

已知函數y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．
（1）求該函數的單調增區間；
（2）求該函數的最大值及對應的x的值；
（3）求該函數的對稱軸方程與對稱中心坐標．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，降次升角，以及兩角和的正弦函數，化簡函數y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x為y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，利用正弦函數的單調增區間，求該函數的單調增區間；
（2）利用正弦函數的最值以及取得最值時的x值，直接求該函數的最大值及對應的x的值；
（3）利用正弦函數的對稱軸和對稱中心，直接求該函數的對稱軸方程與對稱中心坐標．

解答：解：y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=

1-cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．（5分）
（1）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ(k∈Z)．
所以函數的單調增區間為[-

3π

8

+kπ，  

π

8

+kπ](k∈Z).（8分）
（2）令2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，得x=

π

8

+kπ(k∈Z)，
所以當x=

π

8

+kπ(k∈Z)時，ymax=2+

2

．（12分）
（3）由2x+

π

4

=

π

2

+kπ，得x=

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以該函數的對稱軸方程為x=

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)．
由2x+

π

4

=kπ，得x=-

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以，該函數的對稱中心為：(-

π

8

+

kπ

2

，  0)(k∈Z)．（16分）

點評：本題是基礎題，考查正弦函數的單調性，對稱軸方程，對稱中心，最值，利用基本函數的基本性質，是集合本題的關鍵，基本知識掌握的好壞，直接影響解題效果．