Question

（本小題滿分13分）

已知, 是平面上一動點, 到直線上的射影為點，且滿足

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點作曲線的兩條弦, 設所在直線的斜率分別為, 當變化且滿足時，證明直線恒過定點，并求出該定點坐標．

 

Answer 1

【答案】

(1) y²="4x" (2) 直線AB經過(5,-6)這個定點

【解析】

試題分析：解： （Ⅰ）設曲線C上任意一點P(x,y), 又F(1,0)，N(－1,y),從而 

,,

化簡得y²="4x," 即為所求的P點的軌跡C的對應的方程.         ………………4分

（Ⅱ）設、、、

將MB與聯立，得：

∴         ①

同理        ②

而AB直線方程為: ，即  ③

………………8分

由①②:y₁+y₂=

代入③，整理得恒成立………………10分

則 故直線AB經過(5,-6)這個定點.. ………………13分

考點：軌跡方程，直線與拋物線的位置關系

點評：解決該試題的關鍵是利用設點，得到關系式，然后坐標化，進而化簡得到軌跡方程。屬于基礎題。