Question

已知函數f（x）是偶函數，當x＞0時，f(x)=x+

4

x

，又x∈[-3，-1]時，a≤f（x）≤b恒成立，則b-a的取值范圍是

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：要使x∈[-3，-1]時，a≤f（x）≤b恒成立，則函數的值域是[a，b]的子集，因此關鍵是求出函數在x∈[-3，-1]時，函數的值域，利用函數f（x）是偶函數，當x＞0時，f(x)=x+

4

x

，可求．

解答：解：設x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時，f(x)=x+

4

x

，∴f(-x)=-x-

4

x

∵函數f（x）是偶函數，∴x＜0時，f(x)=-x-

4

x

當x∈[-3，-1]時，函數的值域為[4，5]
∵x∈[-3，-1]時，a≤f（x）≤b恒成立
∴[4，5]⊆[a，b]
∴b-a≥1
故答案為[1，+∞）

點評：本題的考點是函數恒成立問題．主要考查x∈[-3，-1]時，a≤f（x）≤b恒成立，關鍵是求出函數在x∈[-3，-1]時，函數的值域，利用函數的值域是[a，b]的子集求解．