Question

已知是函數的一個極值點，其中，

（I）求與的關系式；

（II）求的單調區間；

（III）當時，函數的圖象上任意一點的切線斜率恒大于，求的取值范圍.

Answer 1

（I）解

因為是函數的一個極值點,所以，

所以

（II）由（I）知，.

當時，有，當變化時，與的變化如下表：

				1
	<0	0	>0	0	<0
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

由上表知，當時，在單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減.

（III）解法一：

由已知，得，即

∵，

∴

即      （*）

設，其函數圖象的開口向上，

由題意（*）式恒成立，∴

                  

                   ∴.

即的取值范圍為

解法二：由已知，得，即，

∵，

∴      （*）

     1*    x=1時，（*）式化為0<1恒成立，∴。

     2*    x≠1時，∵∴

                    （*）式化為

   令t= x－1，則t∈[－2,0)，記

    則g(t)在區間[－2,0)是單調增函數。

∴

由（*）式恒成立，必有，

∴

綜上1*、2*知