Question

21、如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE=AC，DE交AB于點(diǎn)F．求證：△PDF∽△POC．

Answer 1

分析：要證明△PDF∽△POC，由于已知兩個(gè)三角形有個(gè)公共角∠P，而題目中未給出與線段對(duì)應(yīng)成比例的條件，故可根據(jù)判斷定理一來(lái)證明三角形相似，故我們還需要再找到一個(gè)相等的角．

解答：證明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，
從而∠PDF=∠OCP．
在△PDF與△POC中，
∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，
故△PDF∽△POC．

點(diǎn)評(píng)：證明三角形相似有三個(gè)判定定理：
（1）如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似．
（2）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．
（3）如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等（或三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等），則有兩個(gè)三角形相似．我們要根據(jù)已知條件進(jìn)行合理的選擇，以簡(jiǎn)化證明過(guò)程．