Question

如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．
（1）求證：∠PFD=∠OCP；
（2）求證：PF•PO=PB•PA．

Answer 1

分析：（1）由題中條件：“AE=AC”，結合同盟弧所對的圓心角是圓周角的兩倍得∠CDE=∠AOC，再根據三角形的外角定理即可得到結論；
（2）欲證乘積式PF•PO=PB•PA成立，化成比例式后，只要證明兩個三角形相似即可．

解答：解：
（1）證明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，（2分）
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，（4分）
∴∠PFD=∠OCP．（5分）
（2）解：在△PDF與△POC中，∠P=∠P，∠PFD=∠OCP，
故△PDF∽△POC，（6分）
∴

PF

PC

=

PD

PO

，∴PF•PO=PD•PC，（8分）
∵PD•PC=PB•PA，
∴PF•PO=PB•PA．（10分）

點評：本題主要考查相似三角形的判定和圓內接多邊形的性質，屬于基礎題之列．