Question

【題目】設集合均為實數集的子集，記.

(1)已知，試用列舉法表示；

(2)設，當且時，曲線的焦距為，如果，，設中的所有元素之和為，求的值；

（3）在（2）的條件下，對于滿足，且的任意正整數，不等式恒成立， 求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據新定義，直接計算，即可.

（2）當且時，曲線表示為焦點在軸上的雙曲線，確定，則，.所以中的所有元素無重復，，用分組求和法，求所有元素之和.

（3）由恒成立，可知恒成立.由得，再根據均值定理，求解即可.

(1)因為，所以當時，

(2) 當且時，曲線

即曲線表示雙曲線，，當時成立.

顯然當時，

故中的所有元素無重復，即

又因為，所以為等差數列，即

所以

(3)恒成立恒成立

又，且的任意正整數

所以

所以