Question

己知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，A₁、A₂是橢圓的左右頂點，B₁、B₂是橢圓的上下頂點，四邊形A₁B₁A₂B₂的面積為16

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）圓M過A₁、B₁兩點．當圓心M與原點O的距離最小時，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的離心率和菱形A₁B₁A₂B₂的面積，建立關于a、b、c的方程組，解之可得a=4，b=2

2

，從而得到橢圓C的方程；
（2）根據題意，過A₁、B₁兩點的圓的圓心M在A₁B₁的垂直平分線l上，且當OM⊥l時圓心M與原點O的距離最小．由此得到直線OM的方程與直線l方程聯解得到M（-

2

3

，-

2

3

），再由MA₁長得到圓M的半徑，得到此時圓M的方程．

解答：解：（1）依題意有：e=

c

a

=

2

2

⇒a=

2

b①…（2分）
四邊形A₁B₁A₂B₂是以橢圓C的四頂點為頂點的菱形
可得：S_A1B1A2B2=

1

2

×2a×2b=16

2

即ab=8

2

②…（4分）
由①、②聯解，可得：a=4，b=2

2

所以橢圓C的方程為：

x2

16

+

y2

8

=1…（6分）
（2）依題意得A1(-4，0)，B1(0，2

2

)
可得A₁B₁的中點為（-2，

2

），A₁B₁的斜率k=

2

2

∴A₁B₁的垂直平分線l的斜率為k'=

-1

k

=-

2

，
可得A₁B₁的垂直平分線l的方程為：y-

2

=-

2

（x+2），化簡得

2

x+y+

2

=0…③（8分）
根據圓M過A₁、B₁兩點，可得圓心M在l上，當圓心M與原點O的距離最小時，OM⊥l
∴OM的方程為y=

2

2

x…④（10分）
聯立③、④得x=-

2

3

，y=-

2

3

，得到M(-

2

3

，-

2

3

)…（12分）
由此可得r2=MA12=(-

2

3

+4)2+(-

2

3

-0)2=

34

3

，
因此，此時的圓M方程為：(x+

2

3

)2+(y+

2

3

)2=

34

3

…（14分）

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并且求圓心M與原點距離最小時的圓M的方程，著重了橢圓的標準方程和簡單幾何性質、圓的標準方程等知識，屬于中檔題．