Question

己知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，過點(diǎn)A（O，-b）和B（a，o）的直線到原點(diǎn)的距離為

3

2

．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+2（k≠o）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在常數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出k，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)A，B的坐標(biāo)可表示直線AB的方程進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離求得a和b的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)橢圓的離心率求得a和b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的k，則直線方程可得與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)判別式求得k的范圍，設(shè)出C，D點(diǎn)坐標(biāo)，則根據(jù)韋達(dá)定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，當(dāng)且僅當(dāng)OC⊥OD，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1時，以CD為直徑的圓過原點(diǎn)O（0，0），求得y₁y₂+x₁x₂=0，根據(jù)直線方程和x₁x₂的表達(dá)式求得y₁y₂，建立等式求得k．

解答：解：（Ⅰ）直線AB方程為：bx-ay-ab=0
依題意

c a = 6 3 ab a2+b2 = 3 2

解得

a= 3 b=1

∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的k，
由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

得（1+3k²）x²+12kx+9=0（8分）
則△=（12k）²-36（1+3k²）＞0①
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

②
當(dāng)且僅當(dāng)OC⊥OD，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1時，以CD為直徑的圓過原點(diǎn)O（0，0），
即y₁y₂+x₁x₂=0
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
∴（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0． ③
將②式代入③整理解得k=±

39

3

經(jīng)驗(yàn)證，k=±

39

3

，使①成立
綜上可知，存在k=±

39

3

，使得以CD為直徑的圓過原點(diǎn)O（0，0）

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查直線與橢圓的關(guān)系．