Question

已知函數y=f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導函數為f′（x），且對任意正數X均有f′(x)＞

f(x)

x

，則下列結論中正確的是（　　）

• A、y=f（x）在（0，+∞）上為增函數
• B、y=

  f(x)

  x

  在（0，+∞）上為減函數
• C、若x₁，x₂∈（0，+∞）則f（（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）
• D、若x₁，x₂∈（0，+∞），則f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）

Answer 1

分析：由于函數為抽象函數．所以此題只能從f（x）的導函數為f（x），且對任意正數x均有f′(x)＞

f(x)

x

入題，得到x＞0時，

f(x)

x

為單調遞增函數，利用不等式的性質即可．

解答：解：由f′（x）＞

f(x)

x

?

xf′(x)-f(x)x

＞0，
又x＞0?

xf′(x)-f(x)x2

＞0 即：[

f′(x)

x2

]′＞0?

f(x)

x

在（0，+∞）上單調遞增，
又x₁，x₂∈（0，+∞）?

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

即：（x₁+x₂）f（x₁）＜x₁f（x₁+x₂）①
同理：（x₁+x₂）f（x₂）＜x₂f（x₁+x₂）②
 ①+②得：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．
故答案選D

點評：此題考查了利用導函數解決函數的單調性，還考查了不等式的性質．