Question

已知⊙O：，為拋物線的焦點，為⊙O外一點，由作⊙O的切線與圓相切于點，且

（1）求點P的軌跡C的方程

（2）設A為拋物線準線上任意一點，由A向曲線C作兩條切線AB、AC，其中B、C為切點.求證：直線BC必過定點

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）見解析

【解析】(1)先求出拋物線的焦點M（2，0），設,因為,

然后根據坐標化建立方程，化簡可得點P的軌跡方程.

(2)拋物線的準線為x=-2, 設A,再根據，

可得以A為圓心,為半徑的圓的方程為,再與圓O的方程作差可得公共弦所在直線方程，從而可找到直線所過定點.

解：（1）拋物線的焦點M（2，0）………….1分  設

 ………4分      化簡得方程

P點軌跡為⊙C: …………6分

(2)拋物線準線方程為…………..7分     設A

⊙C: 化為………..　①

C(4,0),半徑…………..8分     由已知得

以A為圓心,為半徑的圓的方程為

即………..②……………10分

由于BC為兩圓公共弦所在直線   由②－①得BC直線方程…………12分

  得     直線BC過定點…………14分