Question

已知A，B為拋物線y²=2x上兩動點，O為坐標原點且OA⊥OB，若直線AB的傾斜角為135°，則S_△AOB=

2

5

．

Answer 1

分析：設出直線的方程與拋物線方程聯立根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達式，然后利用配方法求得|x₁-x₂|，進而根據直線方程求得|y₁-y₂|，利用OA⊥OB垂直判斷出二直線的斜率的乘積為-1求得m，代入三角形面積公式求得答案．

解答：解：設直線AB的方程為y=x-m，
聯立

y2=2x y=x-m

，得x²-（2m+2）x+m²=0，
則x₁+x₂=2m+2，x₁x₂=m²，
∴|x₁-x₂|=

(2m+2)2-4m2

=

8m+4

，
∵三角形的面積為S_△AOB=|

1

2

my₁-

1

2

my₂|=

1

2

m（|x₁-x₂|）=

1

2

m•

8m+4

；
又因為OA⊥OB，設A（x₁，

2x1

），B（x₂，-

2x2

），
所以x₁x₂-2

x1x2

=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍），或m=2，
代入上式可得S_△AOB=

1

2

m•

8m+4

=

1

2

×2×

8×2+4

=2

5

．
故答案為：2

5

．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生分析問題和解決實際問題的能力．