Question

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
（1）判斷f（x）的單調性，并加以證明；
（2）解不等式；
（3）若f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數f（x）在[-1，1]上單調增，證明如下
由題意，設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂
則x₁-x₂＜0
∵x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
令x=x₁，y=-x₂，
∴f（x₁）+f（-x₂）＜0
∵函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函數f（x）在[-1，1]上單調增；
（2）由（1）知，，解得：
（3）由于函數f（x）在[-1，1]上單調增，
∴函數f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1
∴f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立可轉化為：0≤m²-2am對所有a∈[-1，1]恒成立
∴，
解得m≥2或m≤-2或m=0
分析：（1）設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，利用x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0，可得f（x₁）+f（-x₂）＜0，根據函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，即可得函數f（x）在[-1，1]上單調增；
（2）由（1）知，，解之即可；
（3）先確定函數f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1，將f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立轉化為：0≤m²-2am對所有a∈[-1，1]恒成立，從而可求實數m的取值范圍．
點評：本題以抽象函數的性質為載體，考查函數的單調性，考查單調性與奇偶性的結合，同時考查了恒成立問題，解題的關鍵是：f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立轉化為：0≤m²-2am對所有a∈[-1，1]恒成立