Question

設函數f（x）=-x³+bx（b為常數），若函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，且方程f（x）=0的根都在區間[-2，2]內，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據函數在區間（0，1）的單調遞增轉化成導函數在（0，1）恒大于0，以及求出方程f（x）=0的根，使根都在區間[-2，2]內即可．

解答：解：∵若函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，
∴f'（x）=-3x²+b＞0在（0，1）上恒成立
即b＞3x²在（0，1）上恒成立，解得b≥3
而f（x）=-x³+bx=-x（x²-b）=0的三個根為0，±

b

∵方程f（x）=0的根都在區間[-2，2]內
∴

b

≤2解得b≤4
綜上所述3≤b≤4
故答案為[3，4]

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及利用導數研究函數的單調性，屬于基礎題．