Question

已知函數(shù)f(x)=sinωxsin(ωx+

π

3

)+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（II ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

7π

12

]的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)表達(dá)式為 一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的周期直接求ω的值；
（II ）通過x的區(qū)間[-

π

6

，

7π

12

]，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求出函數(shù)的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=sinωxsin(ωx+

π

3

)+cos2ωx
=

1

2

sin2ωx+

3

2

sinωxcosωx+cos²ωx
=

1

2

sin(2ωx+

π

6

)+

3

4

．
因為函數(shù)的周期是π，所以ω=1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x）=

1

2

sin(2ωx+

π

6

)+

3

4

．x∈[-

π

6

，

7π

12

]，
2x+

π

6

∈[-

π

6

，

4π

3

]，
所以sin(2ωx+

π

6

)∈[-

3

2

，1]，
所以f（x）∈[

3- 3

4

，

5

4

]．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的周期的求法，三角函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．