Question

(本小題滿分14分)

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，．

（1）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

（2）在A₁B₁上是否存一點P，使得DP與平面BCB₁與平面ACB₁都平行？證明你的結論．

Answer 1

證明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． …2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．      …………………4分[

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．     ……7分

（Ⅱ）存在點P，P為A₁B₁的中點．  ………………………………………………8分

證明：由P為A₁B₁的中點，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB． ……………………10分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC B₁P為平行四邊形，從而CB₁∥DP．   

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．   ……………………12分

同理，DP‖面BCB₁．   …………………………………………………………14分