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設向量
a
=(3，5，-4)，
b
=(2，1，8)，計算2
a
+3
b
，3
a
-2
b
，
a
•
b
及
a
與
b
的夾角，并確定當λ，μ滿足什么關系時，使λ
a
+μ
b
與z軸垂直．
分析：由向量的坐標運算規則求出2
a
+3
b
，3
a
-2
b
的坐標，利用數量積公式求出，
a
•
b
及
a
與
b
的夾角，確定λ，μ滿足什么關系．
解答：解：∵
a
=（3，5，-4），
b
=（2，1，8），
∴2
a
+3
b
=（12，13，16），3
a
-2
b
=（5，13，-28），
a
•
b
=-21．
又
a
與
b
的夾角的余弦為
-21
5
138

∴
a
與
b
的夾角是arccos
-21
5
138

∵z軸的方向向量為（0，0，1），
λ
a
+μ
b
=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），
∵λ
a
+μ
b
與z軸垂直，則0•（3λ+2μ）+0•（5λ+μ）+（-4λ+8μ）=0，即8μ-4λ=0，∴λ=2μ．
∴λ=2μ時，λ
a
+μ
b
與z軸垂直．
點評：本題是空間向量求直線的夾角、距離，考查了向量的坐標運算以及向量的夾角的求法，向量垂直的等價條件，解答本題關鍵是了解向量的幾何意義，數量積的幾何意義．
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設向量
a
=(3，5，-4)，
b
=(2，1，8)，計算
a
•
b
以及
a
與
b
所成角的余弦值，并確定λ和μ的關系，使λ
a
+μ
b
與z軸垂直．

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a
•
b
以及
a
與
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a
+μ
b
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a
+3
b
，3
a
-2
b
，
a
•
b
及
a
與
b
的夾角，并確定當λ，μ滿足什么關系時，使λ
a
+μ
b
與z軸垂直．

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