Question

設橢圓，（{a＞b＞0}）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率，右準線為l，M，N是l上的兩個動點，
（Ⅰ）若，求a，b的值；
（Ⅱ）證明：當|MN|取最小值時，與共線．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設，根據(jù)題意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．
（Ⅱ）|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²．當且僅當或時，|MN|取最小值，由能夠推導出與共線．
解答：解：由a²-b²=c²與，得a²=2b²，，l的方程為
設
則
由得①
（Ⅰ）由，得②③
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，并求得a²=4
故
（Ⅱ）證明：|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²
當且僅當或時，|MN|取最小值
此時，
故與共線．
點評：此題重點考查橢圓中的基本量的關系，進而求橢圓待定常數(shù)，考查向量的綜合應用；熟悉橢圓各基本量間的關系，數(shù)形結(jié)合，熟練地進行向量的坐標運算，設而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應用．