Question

已知函數f（x）=2cos²x+2

3

sinx-cosx+a-1且a為常數．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期及單調增區間；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最小值為4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）化簡函數解析式為2sin（2x+

π

6

）+a，周期為 T=

2π

ω

，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范圍即得遞增區間．
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求得2x+

π

6

的范圍，利用單調性得 2x+

π

6

=

7π

6

 時，f（x）有最小值 4，解方程得到a值．

解答：解：函數f（x）=1+2cos2x+

3

sin2x+a-1=2sin（2x+

π

6

）+a．
（1）∴f（x）的最小正周期為 T=

2π

ω

=π，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，∴遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）當x∈[0，

π

2

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴當 2x+

π

6

=

7π

6

 時，f（x）的最小值為：2×（-

1

2

）+a=4，故 a=5．

點評：本題考查三角函數的單調性、周期性以及最值的求法，判斷2x+

π

6

=

7π

6

 時，f（x）有最小值是解題的關鍵．