Question

（本小題滿分12分）

在數(shù)列中，已知．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)且的前項(xiàng)和為，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）

解析:

（Ⅰ）解法一：

而，所以，

即，數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為2的等比數(shù)列            （4分）

，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為        （6分）

解法二：因?yàn)?img width=148 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/161/300361.gif">，

所以

由此猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性：      （2分）

（1）當(dāng)時(shí)，等式顯然成立；

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即

那么，

所以當(dāng)時(shí)，等式也成立

由（1）、（2）知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）及題設(shè)知，

那么，所以

以上兩個(gè)等式兩邊相減得，

所以，進(jìn)而得         （10分）

所以，                      （12分）