分析：（I）求出g（an-1），f（an-1）將它們代入已知等式得到關于an的等式，判斷出各項都不是1，將其變形得到
8（an+1-1）=7（an-1），利用等差數列的定義得到證明．
（II）作出數列{bn}終相鄰兩項的商，通過討論n判斷出商與1的大小，即得到數列的單調性，進一步得到bn取最大值時n的值．
（III）由于數列{bn}的通項特點是一個等差數列與一個等比數列的積，利用錯位相減的方法求出數列的前n項和．
解答：解：（Ⅰ）由已知，得（a
n+1-a
n）•8（a
n-1）+（a
n-1）
2=0．
即（a
n-1）（8a
n+1-7a
n-1）=0．
∵a
1=2≠1，∴a
2≠1，同理a
3≠1，…，a
n≠1．
∴8a
n+1=7a
n+1．
即8（a
n+1-1）=7（a
n-1），
∴數列{a
n-1}是以a
1-1=1為首項，
為公比的等比數列．
（Ⅱ）由（1），得
an-1=()n-1．
∴
bn=(n+1)•()n．
則
bn+1=(n+2)•()n+1．
∵
=•，設
≥1，則n≤6．
因此，當n＜6時，b
n＜b
n+1；當n=6時，b
6=b
7，當n＞6時，b
n＞b
n+1．
∴當n=6或7時，b
n取得最大值．
（Ⅲ）
Sn=2•+3•()2+4•()3+…+n•()n-1+(n+1)•()n•Sn=2•()2+3•()3+4•()4+…+n•()n+(n+1)•()n+1相減得：
•Sn=2•+()2+()3+…+()n-(n+1)•()n+1=
+×8×[1-()n]-(n+1)•()n+1=
-(n+9)•()n+1∴
Sn=63-8(n+9)•()n+1．
點評：求數列的前n項和問題，應該先求出數列的通項，根據通項的特點選擇合適的求和方法．常用的求和方法有：公式法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法、分組法．
．（Ⅰ）求證：數列{an-1}是等比數列；
．（Ⅰ）求證：數列{an-1}是等比數列；