Question

設f（x）=x²，g（x）=8x，數列{a_n}（n∈N*）滿足a₁=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n-1）+f（a_n-1）=0，記．（Ⅰ）求證：數列{a_n-1}是等比數列；
（Ⅱ）當n為何值時，b_n取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，得（a_n+1-a_n）•8（a_n-1）+（a_n-1）²=0．
即（a_n-1）（8a_n+1-7a_n-1）=0．
∵a₁=2≠1，∴a₂≠1，同理a₃≠1，…，a_n≠1．
∴8a_n+1=7a_n+1．
即8（a_n+1-1）=7（a_n-1），
∴數列{a_n-1}是以a₁-1=1為首項，為公比的等比數列．
（Ⅱ）由（1），得．
∴．
則．
∵，設≥1，則n≤6．
因此，當n＜6時，b_n＜b_n+1；當n=6時，b₆=b₇，當n＞6時，b_n＞b_n+1．
∴當n=6或7時，b_n取得最大值．
（Ⅲ）
相減得：=
=
∴．
分析：（I）求出g（a_n-1），f（a_n-1）將它們代入已知等式得到關于a_n的等式，判斷出各項都不是1，將其變形得到
8（a_n+1-1）=7（a_n-1），利用等差數列的定義得到證明．
（II）作出數列{b_n}終相鄰兩項的商，通過討論n判斷出商與1的大小，即得到數列的單調性，進一步得到b_n取最大值時n的值．
（III）由于數列{b_n}的通項特點是一個等差數列與一個等比數列的積，利用錯位相減的方法求出數列的前n項和．
點評：求數列的前n項和問題，應該先求出數列的通項，根據通項的特點選擇合適的求和方法．常用的求和方法有：公式法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法、分組法．