Question

【題目】一胸針圖樣由等腰三角形及圓心在中軸線上的圓弧構成，已知，.為了增加胸針的美觀程度，設計師準備焊接三條金絲線且長度不小于長度，設.

（1）試求出金絲線的總長度，并求出的取值范圍；

（2）當為何值時，金絲線的總長度最小，并求出的最小值.

Answer 1

【答案】（1），[，)；（2），

【解析】

（1）由題可知，，，從而得出，，在中，根據正弦定理即可求出和，即可金絲線的總長度，再根據長度不小于長度，即可求出的取值范圍；

（2）由（1）得且，根據三角函數的圖象和性質，即可求出的最小值.

解：（1）∵圓心在中軸線上，，，

∴，，

在中，，，，

根據正弦定理得：，

得，，

∴，

∵長度不小于長度，即，

∴，即，

又，解得：，

∴的取值范圍是[，).

（2）由（1）得，，

∴，此時單調遞增，

∴當，即時，取得最小值，為，

此時金絲線的總長度最小，最小值為，

∴當時，金絲線的總長度最小，的最小值是.