Question

（2013•豐臺區一模）已知函數f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），可得周期為π，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，解x的范圍可得單調遞增區間；
（Ⅱ）由x的范圍可得2x的范圍，進而可得2x-

π

4

的范圍，由正弦函數的知識可得sin（2x-

π

4

）的范圍，進而可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得f（x）=sin²x+2sinxcosx+cos²x-2cos²x
=1+sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
故函數f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
故函數的單調遞增區間為：[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴2x∈[

π

2

，

3π

2

]，∴2x-

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
故sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，所以

2

sin（2x-

π

4

）∈[-1，

2

]，
故函數f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上的值域為：[-1，

2

]

點評：本題考查兩角和與差的三角函數公式，涉及函數的單調性和值域的求解，屬中檔題．