Question

（2013•豐臺區(qū)一模）如果函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正確的選項(xiàng)是（　　）

A．y=f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)，且x+y≤4

B．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的增函數(shù)，且x+y≥4

C．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的減函數(shù)，且x+y≥4

D．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的減函數(shù)，且x+y≤4

Answer 1

分析：由給出的方程得到函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x，y的關(guān)系式，利用基本不等式求出x+y的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在（1，+∞）上的增減性，二者結(jié)合可得正確答案．

解答：解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得

x＞0 y＞0 x+y=xy

，
由x+y=xy得：x+y=xy≤(

x+y

2

)2=

(x+y)2

4

，
解得：x+y≥4．
再由x+y=xy得：y=

x

x-1

（x≠1）．
設(shè)x₁＞x₂＞1，
則f(x1)-f(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x1x2-x1-x2x1+x2

(x1-1)(x2-1)

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

．
因?yàn)閤₁＞x₂＞1，
所以x₂-x₁0，x₂-1＞0．
則

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的減函數(shù)，
綜上，y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的減函數(shù)，且x+y≥4．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查了利用基本不等式求最值，訓(xùn)練了利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，是基礎(chǔ)題．