Question

已知函數f(x)=-

1

3

x3+bx2-3a2x(a≠0)在x=a處取得極值．
（Ⅰ）求

b

a

；
（Ⅱ）設函數g（x）=2x³-3af′（x）-6a³，如果g（x）在開區間（0，1）上存在極小值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解（1）f'（x）=-x²+2bx-3a²
由題意知f'（a）=-a²+2ba-3a²=0則b=2a
∴

b

a

=2
（2）由已知可得g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³
則g'（x）=6x²+6ax-12a²=6（x-a）（x+2a）
令g'（x）=0，得x=a或x=-2a
若a＞0，當x＜-2a或x＞a時，g'（x）＞0；
當-2a＜x＜a時，g'（x）＜0
所以當x=a時，g（x）有極小值，
∴0＜a＜1
若a＜0，當x＜a或x＞-2a時，g'（x）＞0；
當a＜x＜-2a時，g'（x）＜0
所以當x=-2a時，g（x）有極小值，
∴0＜-2a＜1即-

1

2

＜a＜0
所以當-

1

2

＜a＜0或0＜a＜1時，g（x）在開區間（0，1）上存在極小值．