Question

設a＞0，b＞0，給出下列命題：
①若2^a+2a=2^b+3b，則a＞b；        ②若2^a+2a=2^b+3b，則a＜b；
③若2^a-2a=2^b-3b，則a＞b；        ④若2^a-2a=2^b-3b，則a＜b；
其中真命題是    ．（填序號）

Answer 1

【答案】分析：利用導數得出函數的單調性和圖象，進而即可得出結論．
解答：解：對于①②考查函數f（x）=2^x+2x，g（x）=2^x+3x的單調性與圖象：
可知函數f（x）、g（x）在R上都單調遞增，
若2^a+2a=2^b+3b，則a＞b，因此①正確；
對于③④分別考查函數u（x）=2^x-2x，v（x）=2^x-3x單調性與圖象：
，當時，u^′（x）＜0，函數u（x）單調遞減；當時，u^′（x）＞0，函數u（x）單調遞增．
故在x=取得最小值．
，當時，v^′（x）＜0，函數v（x）單調遞減；當時，v^′（x）＞0，函數v（x）單調遞增．
故在取得最小值．
據以上可畫出圖象．
據圖象可知：
當2^a-2a=2^b-3b，a＞0，b＞0時，
可能a＞b或a＜b．
因此③④不正確．
綜上可知：只有①正確．
故答案為①．
點評：熟練利用導數研究函數的單調性和圖象是解題的關鍵．