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若函數同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有 ②對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數為

“理想函數”。給出下列四個函數中：⑴ ⑵ ⑶

⑷ ，能被稱為“理想函數”的有_ _ （填相應的序號）。

【答案】

（4）

【解析】依題意，性質①反映函數f（x）為定義域上的奇函數，性質②反映函數f（x）為定義域上的單調減函數，

⑴ 為定義域上的奇函數，但不是定義域上的單調減函數，其單調區間為（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；

⑵ 為定義域上的偶函數，排除（2）；

⑶ 定義域為R，由于y=2^x+1在R上為增函數，故函數f（x）為R上的增函數，排除（3）；

⑷ ，的圖象如圖：

顯然此函數為奇函數，且在定義域上為減函數，故（4）為理想函數故答案為（4）

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），試證明?x₀∈（x₁，x₂），使f(x0)=

[f(x1)+f(x2)]成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件①對?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對?x∈R，都有0≤f(x)-x≤

(x-1)2．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數同時滿足以下三個條件：①對任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否同時適合①②③？并予以證明；
（3）假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（滿分16分）已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件時，稱為“友誼函數”，